Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

Решение:
Известно, что при пересечении плоскостью шара в сечении всегда оказывается круг. Поэтому линией пересечения данной плоскости с шаром диаметра 2m будет окружность радиуса r. Как легко показать, проекцией радиуса R шара на сечение (круг) будет радиус r. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом R как его гипотенузой и радиусом r как одним из его катетов, выразим радиус r через радиус R  и угол A между радиусом R и радиусом r:                 r=R*cos(A)-----(1) Где R=d/2 =m, d - диаметр шара; угол A=45°     Тогда из (1) имеем:   r=m*cos(45)=(m*корень(2))/2  Найдем искомую длину окружности радиуса r:        L=2*Pi*r=2*Pi*(m*корень(2))/2 = Pi*m*корень(2)    где Pi - число Пи; корень - квадратный корень.