Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой боковая поверхность = 60√3 см², а полная поверхность = 108 √3см².

Решение:
Найдём площадь основания Sосн.=Sполная- S поверхности=48корней из 3. Площадь основания правильного треугольника может быть найдена по формуле Sосн.=(корень из3 )/4 умноженное на а квадрат, где а сторона треугольника. Получаем 48 корней из 3=( а квадрат*корень из 3)/4=8корней из3. Площадь одной боковой грани найдем разделив( 60 кор. из 3) на три (по числу граней). Получим S1=20корней из 3. Площадь боковой грани также равна половине произведения основания на апофему= (h*а)/2=(h *8 корней из 3)/2. Приравниваем два выражения и получаем   20корней из3=h* 4 корня из 3. Отсюда h=5.Высота пирамиды приходит в центр вписанной окружности радиусом r=а/2 корня из 3. Подставим а и получим r=(8 кор. из3)/ (2 кор. из 3) =4. Тогда по теореме Пифагора из треугольника образованного апофемой и радиусом вписанной окружности, находим высоту пирамиды H=корень из(hквадрат-r квадрат)=корень из(25-16)=3.