Диагональ АС прямоугольника ABCD равна 3 см и составляет со стороной AD угол в 37°. Найдите площадь прямоугольника ABCD.

Решение:
Воспользуемся формулой площади треугольника  S=1/2absina, где a,b - соседние стороны, sina - синус угла между ними. Кроме того, AD=AC*cos37. Площадь прямоугольника в 2 раза больше площади треугольника ACD, тогда S=3*3*cos37*sin37=9*cos37*sin37=9/2*sin74 (по формуле синуса двойного угла, если это необходимо). 

---

АС составляет угол со стороной АД  в 37°..из прямоугольного треугольника который получился АСД, по формуле COS A = прилежащий катет на гипотенузу..найдем.cos 37 = b/3...SIN A = противолежащий катет на гипотенузу...sin 37 = a/3..отсюда а = 3 * sin 37 , b = 3* cos 37 формула для вычисления площади прямоугольника = S = ab  , подставляем выражения...3 * 3 * sin 37 * cos 37 = 9 * sin37*cos37 можно записать еще так = (9*sin 74)/2

---

Пусть О - точка пересечения диагоналей прямоугольника. Тогда треугольник AOD - равнобедренный (AO=OD -половина диагонали).
Угол AOD = 180- 2*37= 106°. Угол между диагоналями: AOB = 180 - AOD= 74°. 
Площадь прямоугольника через диагонали: $$ S= \frac{d^2}{2} * sin \alpha = \frac{3^2}{2} * sin 74 =4.32 $$