В треугольник со сторонами 20, 34 и 42 вписан прямоугольник с периметром 40 так что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника

Решение:
пусть АВ=20 ВС=34 АС=42 пусть Н - основание высоты, опущенной из точки В на АС, то есть ВН - высота. Тогда:
АН^2+BH^2 = 20^2; CH^2+BH^2 = 34^2; CH+AH = 42;
Из первых двух уравнений имеем
34^2-20^2 = CH^2 - AH^2; Отсюда 756 = 42*(СH - AH); CH-AH = 18; 
CH=30 AH= 12 BH=16; Нашли высоту и как её основание делит противоположную сторону. Если рассмотреть треугольник, образованный сторонами АВ ВС и верхней стороной вписанного прямоугольника (параллельной АВ), то он совершенно  подобен АВС. В том числе высота ВН делит его основание в той же пропорции 12/30, то есть 2/5. То есть отрезку АН =12 соответствует 2/7 верхней стороны прямоугольника.  
Если обозначить стороны прямоугольника за х и у, то из подобия треугольников следует,что 
(16-x)/(2*y/7) = 16/12; Ну, и 2*(х+у) = 40; (по условию, периметр прямоугольника)
Кстати, получается очень ГОВОРЯЩЕЕ соотношение 1 = x/16 + y/42; интересно, можно ли его сразу увидеть? В любом случае, дальше элементарно.
x+y = 20; 21*x+8*y = 336; (просто помножил 1=х/16+y/42 на 336)
336 = 21*x + 8* (20-x); 176 = 13*x; x = 13+7/13; y = 6+6/13;