Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник, в котором АВ=АС=2sqrt(2), ВС=2. Высота призмы равна 1. Найдите градусную меру угла между ребром АС и диагональю А1В боковой грани.

Решение:

АВ=АС=2√2, ВС=2

построим дополнительную т.Д симметрично относительно ВС, получаем прямую призму с основанием равносторонним параллелограммом, в котором нам необходимо найти угол ДВА1

ВД=ДС=2√2

ВА1=√(АА1²+АВ²)=√(1+8)=√9=3

АД²+ВС²=2(АВ²+ВД²)

АД²=2(АВ²+ВД²)-ВС²=2(8+8)-4=28

А1Д²=АА1²+АД²=1+28=29

рассмотрим ΔДВА1 ВД=2√2, ВА1=3, А1Д=√29 по т. косинусов

А1Д²=ВА1²+ВД²-2ВА1*ВДcosДВА1

cosДВА1=(ВА1²+ВД²- А1Д²)/2ВА1*ВД

cosДВА1=(9+8-29)/(2*3*2√2)=-12/(12√2)=-1/√2

<ДВА1=135°

---

Достроим дополнительную т. Д симметрично относительно АВ, получаем прямую призму с основанием равносторонним параллелограммом, в котором нам необходимо найти угол ДВА1

ВД=АС=АВ=2√2

ВС=ДА1=2

ВА1=√(АА1²+АВ²)=√(1+8)=√9=3

А1Д²=АА1²+АД²=1+4=5

рассмотрим ΔДВА1 ВД=2√2, ВА1=3, А1Д=√5 по т. косинусов

А1Д²=ВА1²+ВД²-2ВА1*ВДcosДВА1

cosДВА1=(ВА1²+ВД²- А1Д²)/2ВА1*ВД

cosДВА1=(9+8-5)/(2*3*2√2)=12/(12√2)=1/√2

<ДВА1=45°