В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом В і протилежним до нього кутом Бетта. Усі бічні ребра утворюють з площиною основи кут Гамма. Знайдіть об’єм піраміди?

Решение:
Обозначим пирамиду АВСК. АВС основание. Угол В прямой. К вершина пирамиды. По условию угол ВАС=Бетта, сторона ВС=В. А углы АВК и КВС равны Гамма поскольку являются линейными углами двугранных углов наклона граней пирамиды, а АВ и СВ перпендикуляры к их рёбрам.Из вершины пирамиды К опустим перпендикуляр на основание в точку О. Из точки О проведём перпендикуляр ОД на АВ. Он будет равен радиусу вписанной окружности R, поскольку все грани имеют одинаковый наклон к основанию. Тогда АВ=В*ctg Бетта, АС=В/sin Бетта=В*cosec Бетта. Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника находим по формуле R=(а+в+с)/2=(В+В*ctgБетта-В*cosec Бетта)/2.  Далее ОК=Н=ОД*tg Гамма=R*tgГамма( из треугольника КОД). Площадь основания S осн.=1/2АВ*ВС=1/2*В*ctg Бетта*В.  Тогда объём пирамиды равен V=1/3*(В квадрат*ctgБетта/2)*В(1+ctg Бетта-cosec Бетта)/2*tg Гамма=1/12*Вкуб*ctg Бетта(1+ctg Бетта-cosec Бетта)*tg Гамма.