Докажите, что расстояние от вершины треугольника до любой точки противолежащей стороны меньше половины периметра треугольника.

Решение:
Пусть дан треугольник АВС, пусть К - любая точка на стороне ВС, докажем что расстояние АК (от вершины А до любой точки К на противоположной стороне ВС) меньше половины периметра треугольника, т.е. (AB+BC+CA)/2 
Из неравенства треугольника АК<AC+CK AK<AB+BK
2AK<AC+CK+AB+BK 2AK<AC+BC+AB AK<(AC+BC+AB)/2, что и требовалось доказать Доказано.

---

например стороны  а , в , с противолежащие вершины А В С расстояние от вершины А до стороны а это максимально или сторона в или с а половина периметра ,т.е это  (а+в+с)/2 теперь докажем что (са+в+)/2 > в a+b+c >2b a+c > b это верно для любой стороны и вершины.