В конус вписан шар радиуса r. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен альфа. Найдите боковую поверхность конуса.

Решение:
Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник,основание которого АВ=2R. Где R радиус основания конуса.Стороны треугольника равны образующей конуса L.  Шар проецируется на осевое сечение как окружность радиуса r с центром в точке О. Обозначим треугольник АВС,  С-вершина. Проведём из О перпендикуляры ОК  к АС и ОМ к  ВС. Из равенства треугольников  КОВ и МОВ видно, что ОВ-биссектриса угла СВА. Отсюда ВК=ОК/(tgA/2). Или R=r/(tgA/2). Где А-угол альфа. Далее СВ*cosА=ВК. Или L*cosA=r/(tgA/2). Отсюда величина образующей конуса L=r/cos A*(tgA/2). Боковую поверхность конуса находим по формуле S=пи*R*L=пи*(r/tgA/2)*r/cosA*(tgA/2)=пи*r квадрат/cos A*(tgA/2) квадрат.