Две оружности с радиусами 5 и 3 касаются в точке O. Их общая касательная, проходящая через точку O, пересекает внешние касательные этих окружностей в точках A и B соответственно. Найдите AB.

Решение:
Прямая, проходящая через центры, является осью симметрии. Продолжим её до пересечения с внешними касательными, точку пересечения обозначим С; Центр малой окружности О1, большой О2. "Верхняя" (ну, та, что на чертеже выше, ось пусть горизонтальная) внешняя касательная касается малой окружности в точке M, большой - в точке N; Из центров окружностей в эти точки проводим радиусы, они, само собой, перпендикулярны этой касательной АN. Обозначим Р точку пересечения оси с малой окружностью (вторую, первая, дальняя от С, по условию обозначена О), длина СP = x; Кроме того, через точку M проводим до пересечения с О2N прямую, параллельную оси. Точку пересечения обозначим К.  Угол между осью и внешней касательной обозначим Ф Если вы нарисуете чертеж, то дальше все соотношения очевидны. KM = O1O2 = R+r; KN = R-r; MN = корень(KM^2 - KN^2) = 2*корень(R*r) KN/KM = cos Ф = MO1/CO1 = r/(x+r);  (R-r)/(R+r) = r/(x+r); x = 2*r^2/(R-r); Осталось заметить, что тр-к СОА подобен тр-ку СО1M и, само собой, CO2N и MNK; AO/CO = tg Ф; CO = x+2*r; На самом деле, задача уже решена, АВ = 2*АО, осталось только всё сосчитать. AO = (2*r + 2*r^2/(R-r))*(R-r)/(2*корень(R*r)) = корень(R*r); Столь сильное упрощение требует геометрического объяснения, но я его пока не нашел. Получается, что искомое расстояние равно расстоянию между точками касания окружностей одной касательной (то есть АВ = MN). Ответ АВ = 2*корень(R*r) = 2*корень(15); 

---

Вариант решения 2: Пусть точки касания второй внешней касательной N1 и M1. Рассмотрим трапецию NMM1N1. Все отрезки, соединяющие О с вершинами этой трапеции, являются биссектрисами углов (Это следует из равенства дуг, к примеру дуга ON = дуга ON1, поэтому угол ONM = угол ONN1, то есть ОN - биссектриса). В трапеции все биссектрисы пересекаются в точке О, поэтому в неё МОЖНО вписать окружность, поэтому суммы противоположных сторон равны, а АВ - средняя линяя в этой трапеции, поэтому она равна боковой стороне этой (равнобедренной) трапеции, то есть АВ=MN ) МN находится элементарно из прямоугольного тр-ка MNK.