Основания трапеции равны а и в. Точки на боковых сторонах соединены отрезком, параллельным основаниям и делящим трапецию на две равновеликие части. Чему равна длина этого отрезка?

Решение:
h1 высота верхней части h2  высота нижней части  Равновеликость - т.е. площадь нижней трапеции равно площади верхней, т.е.  $$ \frac{h1*(a+x)}{2} = \frac{h2*(b+x)}{2} $$ после упрощения получаем  $$ h1*(a+x) = h2*(b+x) $$  это уравнение (1)
Высота всей трапеции равна h1+h2, площадь всей трапеции равна сумме верхней и нижней, получаем $$ \frac{(h1+h2)*(a+b)}{2} = \frac{h1*(a+x)}{2} + \frac{h2*(b+x)}{2} $$   после упрощения и выноса за скобки h1 b h2 получаем     $$ h1*(x-b) = h2*(a-x) $$  это уравнение (2)
Разделим левую часть (1) на левую часть (2), тогда это равно правой части (1) деленной на правую часть (2)
 $$ \frac{h1*(a+x)}{h1*(x-b)} = \frac{h2*(x+b)}{h2*(a-x)} $$
высоты сокращаются и остается     $$ \frac{a+x}{x-b} = \frac{x+b}{a-x} $$ уравнение с одним неизвестным, получаем
$$ x=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} $$