В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Хорда, длина которой 10, удалена от центра окружности на расстояние 3. Найдите длину другой хорды, если известно, что она удалена от центра на расстояние 4.

Решение:
 Опускаем две высоты, которые и являются расстоянием до наших хорд. Это будут OH = 3 и OH1 = 4. Концы хорды = 10 обозначим за A и D, а другой - за B и C   1) тр COB - равнобедренный по определению, так как CO=OB=R.        OH - высота, медиана.         тр AOD - аналогично - равнобедренный по определению, так как AO=OD=R         OH1 - Высота, медиана.      2) тр. COH - прямоугольный          По теореме Пифагора - CH^2 + OH^2 = OC^2            3^2 + 5^2 = OC^2            OC = R = кор из 34      3) Тр. H1OD - прямоугольный, OD^2 = OH1^2 + H1D^2             H1D^2 = OD^2 - OH1^2 = 34 - 4^2 = 18              H1D = 3 корня из двух             AD = 6 корней из двух     В итоге получаем, что вторая хорда равна шесть корней из двух, это и есть ответ

---

  половина хорды, перпендикулярный ей отрезок до центра (то есть расстояние от хорды до центра), и радиус  в конец хорды образуют прямоугольный треугольник.  Поэтому если есть 2 хорды длины d и d1 и расстояниями от центра соответственно h и h1, то (d/2)^2 + h^2 =  (d1/2)^2 + h1^2 = R^2; отсюда 5^2 + 3 ^2 = (d1/2)^2 + 4^2; d1 = 6*корень(2)