Надо найти угол альфа между плоскостью треугольника ABC и плоскостью прямоугольника ABMN. AB = 5, BC = 12, AC = 13, BM = 15, MC = 9.

Решение:
На рисунке показан "вид сверху" на прямоугольник MNBA. Треугольник АВС наклонен (вершина С БЛИЖЕ к нам, чем плоскость прямоугольника) Размеры взяты в скобки, потому что соответствуют наклонным отрезкам. Рядом показан вид сбоку, на треугольник ВСМ. Задачка упрощается благодаря тому, что 5,12,13 - Пифагоровы числа, то есть АВС - прямоугольный тр-к, то есть проекция С1 лежит на BN (я сразу так и нарисовал). Нам надо найти угол СВМ в треугольнике СВМ, это и будет искомый двугранный угол (плоскость СВМ перпендикулярна АВ, потому что АВС - прямоугольный треугольник, а МВ - по условию, MNBA - прямоугольник). Но СВМ - тоже прямоугольный треугольник (стороны 9, 12 и 15, опять Пифагоровы числа). Поэтому, сразу ответ - 
arcsin(3/5)
Если бы С1 не попадала на сторону ВМ, и если бы СМВ тоже не был бы прямоугольным, задача усложнялась бы, но не так, чтобы очень - всё сводилось бы к применению теоремы косинусов в двух треугольниках с заданными сторонами.