Постройте треугольник АВС по углу А и стороне ВС, если известно что АВ : АС = 2 : 1

Решение:
пусть ВС = b; угол А так и будем обозначать А. То, что он ЗАДАН, означает, что мы можем к любой прямой в любой точке провести линию под углом А. Для начала построим вот что - проведем ГДЕ-НИБУДЬ отрезок длинны b. Из середины и левого конца восстановим перпендикуляры, кроме того, из левого конца проведем линию под углом  А к перпендикуляру, до пересечения с перпендикуляром из центра (см первый чертежик). Точка пересечения - центр окружности. Радиус равен расстоянию до концов отрезка. Любой вписанный в эту окружность угол, опирающийся на хорду b, будет равен А (центральный угол хорды равен 2*A, а вписанный, соответственно, половине, то есть А).
Это означает, что вершина А лежит ГДЕ-ТО на этой окружности. При этом расстояние от одного конца хорды до т.А в 2 раза больше, чем до другого. Зададимся вопросом, что за ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК, такое, что расстояние до одной точки в 2 раза больше,чем до другой.
Это окружность с радиусом 2*b/3 и центром, отстоящим от левого конца отрезка на b/3. Построение такой окружности не представляет труда. Продолжаем хорду за левый конец на расстояние b/3, там ставим "циркуль" и рисуем окружность радиуса 2*b/3. Точка её пересечения с первой окружностью и есть положение вершины А.