Навколо кулі описано конус, висота якого вдвічі більша за діаметр кулі. Знайдіть відношення обьємів даних тіл. (Подробно)

Решение:
Проведём осевое сечение через вершину и центр шара. В проекции на эту плоскость получим окружность радиуса R (проекция шара) и равнобедренный треугольник( проекция конуса) с высотой Н=4R, в который вписана эта окружность. Обозначим треугольник АВС. АС -основание В -вершина. Проведём высоту ВД на АС. Центр вписанной окружности располагается на ней на расстоянии ВО= 3R  от вершины  ОД=R. Так по условию. Из точки О проведём перпенддикуляр ОК=R на ВС. Треугольники ВДС и ВОК подобны. Они прямоугольные и угол ДВС у них общий.  Отсюда ОК/ОВ=ДС/ВС.  Или R/3R=ДС/ВС. То есть ДС=1/3ВС. По теореме Пифагора ВД квадрат= ВС квадрат-ДС квадрат= ВС квадрат-(1/3 ВС)квадрат= 8/9( ВС квадрат). Но по условию ВД=4R. Приравниваем и получаем (4R)квадрат = 8/9(ВС квадрат). Отсюда ВС=6R/(корень из 2).  Тогда радиус конуса R конуса=ДС=1/3*ВС=2R/(корень из 2).  По формуле находим объём конуса V конуса=1/3 пи*(R конуса)квадрат*Н= 1/3 пи*((2R/(корень из 2)квадрат*4R= 8 пи*Rкуб/3.  Объём шара V шара=4/3пи *Rкуб(по формуле).  Сравним объёмы и видим , что объём конуса в два раза больше объёма шара.