1. Основание призмы - треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие - по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45. Найдите ребро равновеликого куба.
2. Основанием наклонной призмы служит равносторонний треугольник со стороной а ; одна из

Решение:
1.Призма ABCA’B’C’  , AB=AC=3 ; BC=2.Опустим перпендикуляр из точки B’, который падает за пределы основания в точку K, на продолжение прямой AB. Тогда в прямоугольном треугольнике BB’K угол K прямой и угол B’ = 45. B’K=h - высота призмы. $$ h=sin 45 *BB’=2 \sqrt{2} $$. S - площадь основания. Т.к. треугольник равнобедренный, то проведём перпендикуляр из вершины A к основанию BC в точку F(будет являться высотой, медианой), тогда $$ BF=FC=1 AF= \sqrt{8} \\ S=1/2*AF*FC*2= \sqrt{8} \\ V= \sqrt{8}*2*\sqrt{2}=8 \\ V куба = a^{3} =8; a=2 $$ Ответ: ребро куба равно 2
3. Прямоугольный треугольник со сторонами a, b ,c-гипотенуза. S-площдь основания $$ S=1/2*a*b= \frac{c^{2}*\sqrt{3}}{8} $$ a=sin 30*c b=cos 30*c H=sin 60*k $$V= \frac{k*\sqrt{3}}{2}*\frac{c^{2}*\sqrt{3}}{8} $$

2. Высота призмы лежит в плоскости боковой грани, являющейся ромбом со стороной a и диагональю с. То есть высота призмы - это высота ромба. Если обозначить за Ф угол между диагональю с и стороной а, лежащей в плоскости основания, то довольно очевидно, что cosФ = с/2a; (это получается из треугольника, образованного половинками диагоналей и стороной основания), h = c*sinФ; понятно, что отсюда h выражается через а и с, умножается на площадь основания (S = a^2*корень(3)/4); и получаем объём )) h = c*корень(1 - (с/(2*a)^2); V = S*h 3. h = k*корень(3)/2; S = c*(1/2)*с*(корень(3)/2)/2 = с^2*корень(3)/8; V = S*h = (3/16)*k*(c^2)