Диаметры оснований усеченного конуса равны 4 и 6. Найдите объем шара, вписанного в усеченный конус.

Решение:
$$ V=\frac{4}{3}\pi R^{3} $$
Рассмотрим усеченный конус в продольном сечении. Это равнобедренная трапеция с основаниями AD=b=6 см и BC=a=4 см. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:AB+DC= AD+BC или 2a= b+c. Ребро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора: 
 $$ BC= a= \sqrt{h^{2}+(\frac{c-b}{2})^{2}} $$
Зная, что 2a= b+c, получаем:
$$ b+c=2\sqrt{h^{2}+(\frac{c-b}{2})^{2}} $$
Упростив выражение получим:  
$$ h=\sqrt{(\frac{c+b}{2})^{2}-(\frac{c-b}{2})^{2}} $$ 
$$ h=\frac{1}{2}\sqrt{({c+b})^{2}-({c-b})^{2}} $$ используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим
$$ h=\sqrt{bc} $$ 
h=√(4*6)=√24=2√6 Радиус вписанной окружности равен половине высоты, т.к. центр окружности равноудален от точек касания со сторонами/основаниями трапеции.
r=½h=½*2√6=√6
Радиус рассмотренной окружности и будет радиусом шара
$$ V=\frac{4}{3}\pi R^{3} \\ V=\frac{4}{3}\pi(\sqrt{6})^{3} \\ V=\frac{4}{3}\pi 6\sqrt{6}=8\pi \sqrt{6} $$
Ответ:  $$V=8\pi\sqrt{6}$$