В выпуклом многоугольнике 77 диагоналей. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Решение:

В выпуклом n-угольнике всего n(n-3)/2  диагонали, так как можно выбрать одну из вершин n способами и n-3 способами выбрать другую вершину, не смежную с уже выбранной. Каждая диагональ будет посчитана 2 раза, поэтому нужно разделить результат на 2. Таким образом, нужно решить уравнение n(n-3)/2=77 или n(n-3)=154. Можно просто подобрать n или решить квадратное уравнение n²-3n-154=0 : 
n²-3n-154=0
D=9+154*4=9+616=625
n₁=(3+25)/2=14
n₂=(3-25)/2=-11 - посторонний корень, число сторон положительно.  
Таким образом, n=14, то есть в многоугольнике 14 сторон. В выпуклом n-угольнике сумма углов равна 180(n-2), тогда сумма углов выпуклого 14-угольника будет равна 180(14-2)=180*12=2160 градусам.

В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найдите количество его сторон и сумму углов

Стороны и диагонали в выпуклом n-угольнике связаны соотношением: число диагоналей = (n -3)*n/2  (количество сторон и углов одинаково), тогда 54= (n-3)*n/2 или 108= (n-3)*n раскроем скобки и получим квадратное уравнение :n квадрат -3n - 108 =0 решим через дискриминант и получим, что n=12 Это 12-тиугольник и сторон у него тоже 12, тогда сумма всех углов равна 180*(n-2), получаем: 180*(12-2)=1800 градусов     Ответ: 12 сторон и 1800 градусов