В данном девятиугольнике все внутренние углы равны между собой. Найдите его внешний угол

Решение:

Если взять точку внутри этого девятиугольника и провести из неё перпендикуляры ко всем сторонам, то угол между двумя такими перпендикулярами равен углу между сторонами, к которым они проведены (углы равны, если их стороны перпендикулярны попарно). Если брать два соседних перпендикуляра, то угол между ними как раз равен внешнему углу девятиугольника. Это означает, что сумма всех внешних углов девятиугольника (и вообще любого выпуклого многоугольника) равна 360°;
Так как все эти внешние углы равны, ответ 360°/9 = 40°;
Тут рядом лежит и способ вычисления суммы внутренних углов α1, α2, αN
Как только что найдено, 
(180° - α1) + (180° - α2) +. + (180° - αN) = 360°; 
поэтому
α1 + α2 +. + αN = N*180° - 360° = (N - 2)*180°;
Эту же формулу можно получить, проведя все N - 3 диагонали из одной (все равно какой) вершины, которые разобьют многоугольник на N - 2 треугольника.
Соответственно, так получается другое решение этой задачи.
Действительно, сумма внутренних углов девятиугольника 180°(9 - 2) = 7*180°; каждый внутренний угол (если они равны) 7*180°/9 = 7*20° = 140°; откуда внешний угол равен 180° - 140° = 40°;