В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, на сторонах AB и BC отложены соответственно точки M и N так, что угол ACM= углу CAN. Докажите, что треугольник MBN - равнобедренный.

Решение:
MN - это средняя линия

она отрезает треугольник подобный данному

средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

а, так как у нас углы треугольника АВС равнобедренный т.к :    угл ACM= углу CAN.

то и углы при основании второго треугольника также будут равны и из этого следует что MBN равнобедренный треугольник

---

 Рассмотрим треугольники ANC и AMC:
У них есть общее основание - АС, и равные углы при основании, т.к. углы при основании в равнобедренном треугольнике равны. Имеем: угол NAC = углу MCA по условию задачи, но углы BAC=BCA, то есть равны и другие части этих углов - угол МАN=NCM. Таким образом треуг.AMC=треуг.ANC по стороне и двум углам. 
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, AM=NC. Так как треуг.ABC - равнобедренный, то MB=NC, (AB-AM =MB) = (BC-NC=BN), где AB=BC AM=NC. 
То есть треугольник MBN - равнобедренный ч.т.д