В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основанием служит ромб. Сторона ромба равна а, угол BAD=60о. Диагональ параллелепипеда B1D составляет с плоскостью боковой грани угол 45о. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:
S полной поверхности параллелепипеда = 2 S основания + 4 S боковой грани
S основания = S ромба =\( \frac{1}{2}\) * на произведение диагоналей, одна диагональ =  стороне. образовывает треугольник с углами 60° (формула для решения) это равносторонний треугольник  2 диагональ из равностороннего треугольника со стороной a, и высотой \( \frac{1}{2}\) a и углом в вершине 120° В нем: прямоугольный треугольник с сторонами \( \frac{1}{2}\)*a (половина 1 диагонали), гипотенуза = a.  По т.Пифагора: (корень из 3)*a/2 2 диагональ (равна корень из 3)*a площадь основания = (корень из 3)*a*a/2.
найдем высоту. 45° угол между диагональю параллелепипеда и 2 диагональю ромба. в треугольнике, образованном диагональю параллелепипеда диагональю ромба и боковой стороной параллелепипед один угол 45° второй = 90° то третий будет 180 - 45 - 90. данный треугольник - равносторонний и высота равна диагонали ромба т.е. (корень из 3)*a. (в следствии) Следовательно площадь боковой грани = a*(корень из 3)*a
Итого П.П.П. = 2*(корень из 3)*a*a/2 + 4*a*(корень из 3)*a = 5*(корень из 3)*(a в квадрате) (формулой)