Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Отрезок MN с концами на боковых сторонах является средней линией треугольника и равен √15. Около треугольника описана окружность с центром О и радиусом, равным 8. Найти длину отрезка ОМ

Решение:
Решение: Центр О описанной окружности лежит на медиане, проведенной к основанию треугольника. Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой (свойство равнобедренного треугольника)  . Cредняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Поэтому AC=2*MN=2*корень (15). Пусть ВК – медиана, проведенная к основанию АС, тогда АК=СК=12*АС= 12* 2*корень (15)=корень(15). 1 случай) Если центр О описанной окружности лежит внутри треугольника АВС, тогда: По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2 OK^2=8^2-(корень(15))^2=49 ОК=7 ВК=ОВ+ОК=8+7=15. По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN. ML=NL=12*MN=12*корень (15). По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KL BL=KL=12*BK=12*15=7.5 LO=OB-BL LO=8-7.5=0.5 MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO. По теореме Пифагора: OM^2=LO^2+ML^2 OM^2=0.5^2+(12*корень (15))^2=4 OM=2 2 случай) Если центр О описанной окружности лежит вне треугольника АВС, тогда: По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2 OK^2=8^2-(корень(15))^2=49 ОК=7 ВК=ОВ-ОК=8-7=1. По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN. ML=NL=12*MN=12*корень (15). По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KL BL=KL=12*BK=12*1=0.5 LO=OB-BL LO=8-0.5=7.5 MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO. По теореме Пифагора: OM^2=LO^2+ML^2 OM^2=7.5^2+(12*корень (15))^2=60 OM=корень(60)=2*корень(15)
з.і. *