В выпуклом многоугольнике провели все его диагонали. Их оказалось 9. Тогда этот многоугольник имеет сторон.

Решение:

Есть формула для нахождения числа диагоналей выпуклого многоугольника.  
Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой.
Таким образом, из одной вершины можно провести n − 3 диагонали;
перемножим это на число вершин (n -3 ) n 
Но так как каждая диагональ посчитана дважды ( по разу для каждого конца диагонали), то получившееся число надо разделить на 2.
d=(n² - 3n):2
В данной задаче
9=(n² - 3n):2
n²  - 3n -18=0
Решив квадратное уравнение, найдем его корни ( вычислений не даю, каждый сможет решить сам). 
х₁=6
х₂=-3( не подходит)
Ответ: 6 сторон.