Стороны одного треугольника равны 21,27,12см. Стороны другого треугольника относятся как 7:9:4, а его большая сторона равна 54 см. Найти отношение площадей этих треугольников.

Решение:
по формуле Герона вычислим площадь первого тр-ка $$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$ , где р= 1/2Р (периметра) р=(21+27+12)/2=30  $$ S=\sqrt{30(30-21)(30-27)(30-12)}=\\=\sqrt{30*9*3*18}=\sqrt{14580}=54\sqrt{5} $$
Найдем стороны второго тр-ка коэф-т = х в отношении 7:9:4 большая сторона = 54 - это 9х 9х=54 х=6 ⇒ стороны тр-ка = 42, 54, 24  по формуле Герона вычислим площадь второго тр-ка   р=(42+54+24)/2=60 $$ S=\sqrt{60(60-42)(60-54)(60-24)}=\\=\sqrt{60*18*9*36}=\sqrt{58320}=108\sqrt{5} \\ \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{ 54\sqrt{5} }{108\sqrt{5} }= \frac{1}{2} $$

---

Возможно и иное решение:  По теореме "Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия".  Стороны первого тр-ка относятся друг к другу как 21:27:12 сократим на 3 ⇒ 7:9:4 из этого делаем вывод, что первый и второй тр-к подобны по 3м сторонам Большая сторона 1 тр-ка = 27 Большая сторонв 2 тр-ка = 54 27/54=1/2  из теоремы следует $$ \frac{S_{1}}{S_{2}}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}) $$