Даны точки A(-8;3), B(-7;-1), C(-23;-5). В треугольнике ABCнайдите, а) угол B; б) координаты центра тяжести; в) координаты центра описанной окружности.

Решение:
Решение: Найдем длины сторон треугольника по формуле длины отрезка по заданным координатам его вершин: d=корень((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) AB=корень((-8-(-7))^2+(3-(-1))^2)=корень(17) BC= корень((-7-(-23))^2+(-1-(-5))^2)=корень(272)=4*корень(17) АС= корень((-8-(-23))^2+(3-(-5))^2)=17 По теореме косинусов cos B=(AB^2+BC^2-AC^2)(2*AB*BC)= =(17+272-289)(2* корень(17)* 4*корень(17))=0 значит угол B равен 90 градусов или по обратной теореме Пифагора так как AB^2+BC^2=AB^2  (17+272=289), то угол В равен 90 градусов б) центр тяжести треугольника – точка пересечения медиан Медианы треугольника пересекаються и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 Ищем координаты точки D – середины отрезка AB по соответствующим формулам x=(x1+x2)2 y=(y1+y2)2  x=(-8+(-7))2=-7.5 y=(3+(-1))2=1 D (-7.5;1) Ищем координаты центра тяжести M по сотвествующим формулам x=(x1+m*x2)(1+m), y=(y1+m*y2)(1+m) x=(-23+2*(-7.5))(1+2)=-383  y=(-5+2*1)(1+2)=-1 M(-383;-1) в) центр описанной окружности находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника, пусть O (x;y) – координаты центра описанной окружности, по формуле длины отрезка по заданным координатам вершин, составляем систему уравнений: (x+8)^2+(y-3)^2=(x+7)^2+(y+1)^2 (x+8)^2+(y-3)^2=(x+23)^2+(y+5)^2 Решаем систему x^2+16x+64+y^2-6y+9=x^2+14x+49+y^2+2y+1 x^2+16x+64+y^2-6y+9=x^2+46x+529+y^2+10y+25, 2x-8y=-23 -30x-16y=481, -4x+16y=46 -30x-16y=481, 2x-8y=-23 -34x=527 x=-15.5 2*(-15.5)-8y=-23 -8y=-23+31=8 y=-1 O (-15.5,-1) Примечание так как треугольник прямоугольній,центр описанной окружности можно было найти – как середину гипотенузы Ищем координаты точки O – середины отрезка AC по соответствующим формулам x=(x1+x2)2 y=(y1+y2)2  x=(-8+(-23))2=-15.5 y=(3+(-5))2=-1 O (-15.5;-1)