Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120° Боковые рёбра образуёт с её высотой, равной 16 см. , углы в 45° Найдите площадь основания пирамиды.

Решение:
Высота равноудалена от вершин треугольника. Потому, что все боковые ребра образуют с высотой одинаковые углы, и поэтому равны по длине. Это вообще касается любого отрезка из данной точки, имеющего заданный угол с перпендикуляром к плоскости, проходящим через эту точку. Иначе говоря, вершина пирамиды проектируется на центр описанной окружности. Причем раз нам задан угол (45°) и высота, то радиус описанной окружности равен высоте, то есть 16. Теперь нам надо сосчитать площадь равнобедренного треугольника с углом 120°, вписанного в окружность радиуса 16. Можно,конечно, сосчитать тупо все длины, а можно сообразить, что вместе с радиусами, проведенными в концы основания треугольник образует ромб, (как бы составленный из 2 равносторонних треугольников, хотя даже это не обязательно - можно просто сказать, что центральные углы сторон получаются по 60°). Поэтому боковые стороны  треугольника равны 16, а площадь S = 1/2*(16^2)*sin(120) = 64*корень(3)