1. В окружность вписан треугольник АВС, сторона которого АС совпадает с диаметром. Из т. В к АС проведен перпендикуляр ВК, причем АК=4, а КС=16. Найти: ВК, АВ, ВС, АС.

Решение:
Если в окружность вписан треугольник АВС сторона которого совпадает с диаметром, то этот треугольник прямоугольный. (Вершина В лежит на окружности и угол АВС опирается на диаметр, значит угол В - прямой). Тогда: АС=АК+КС=4+16=20.  ВК - это высота. Квадрат высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу. Тогда ВК^2=4*16. ВК=8. Треугольники АКВ и КВС - прямоугольные из картинки. (а треугольнике АКВ прямой угол АКВ, в треугольнике СВК прямой угол ВКС).  Значит в них зная две стороны (ВК и либо АК либо КС) можно найти третью по теореме Пифагора. АВ^2=AK^2+KB^2=4^2+8^2=80. AВ=корень из 80. ВС^2=8^2+16^2=64+256=320 BC=корень из 320. 
Ответ: ВК=8 АВ=корень из 80 ВС=корень из 320 АС=20