В параллелограмме ABCD углы B и D острые. Известно, что BK-биссектриса угла B, CM-биссектриса угла C, а точка K и M лежат на отрезке AD. Найдите, как площадь трапеции BCMK относится к площади ABCD, если BC=10, AB=3.

Решение:
Поскольку АВСД параллелограмм угол СДМ=180-уголВСД.  В треугольнике МСД уголСМД=180-уголМСД-уголСДМ=180-уголВСД/2-(180-уголВСД)=уголВСД/2. Значит уголСМД=уголМСД=уголВСД/2. Отсюда треугольник МСД равнобедренный и СД=МД=АВ=3. Аналогично доказываем что треугольник АВК также равнобедренный и АВ=АК=3. Отсюда МК=АД-АК-МД=10-3-3=4. Высота Н у параллелограмма АВСД и трапеции ВСМК общая. Отсюда площадь параллелограмма Sавсд=АД*Н=10*Н.   Площадь трапеции Sвсмк=(МК+ВС)/2*Н=(4+10)/2*Н=7*Н. Отсюда искомое отношение площадей 7/10. Кстати оно сохраняется при любых значениях острых углов В и Д.