Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а√2 и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:
а) меньшую высоту параллелограмма;
б) угол между плоскостью AВС1 и плоскостью основания;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
г) площадь поверхности параллелепипеда.

Решение:
Решение
1) S(АДМ) =S(СДМ) =0,5АД*МД=0,5*а*а =0,5а²
2) Из тр-ка АДМ по теореме Пифагора АМ² =ДМ² +ДА²= а²+а²=2а² тогда АМ =МС =а√2
3) Тр-к МАВ прямоугольный, угол МАВ =90 ( по теореме о трёх перпендикулярах ВА┴МА) тогда 
S(АВМ) =0,5АВ*АМ =0,5*а*а√2=0,5√2а²
4) Тр-к ВАМ=тр-ку ВСМ ( по трём сторонам, АВ=ВС, АМ=МС, ВМ-общая) 
тогда S(АВМ)=S(СВМ)=0,5√2а²
5) S(АВСД)=а*а=а²
6)S(МАВСД)= а²+2*0,5√2а²+2*0,5а² =2а² +√2а² =а²( 2+√2)
Ответ а²( 2+√2)

Решение:
По условию AB=a*корень(2), AC=2*a, угол BAC=45° (выбор сторон и угла в данной задачи не влияет на общность)
Площадь параллелограмма (основания) равна произведению смежных сторон на синус угла между ними
площадь параллелограмма равна AB*AC*sin (BAC)
a*корень(2)*2*а*sin 45=2*a^2
Высота параллелограмма равна площадь параллелограмма сторону
Меньшая высота проведена к большей стороне параллелограмма
Меньшая высота паралелограмма BK равна 2*a^2(2*а)=a
Большая высота параллелограма CG равна 2*a^2(a*корень(2))=
=а*корень(2)
Высота параллелепипеда равна меньшей высоте паралелограма СС1=АА1=а
Угол между плоскотью АВС1 и плоскостью основания равен углу С1GC
tg (C1GC)=CG1CG=a(a*корень(2)) =корень(2)2.
угол C1GC=45°
Площадь боковой поверхности 2*(AB+АС)*АА1=
2*(a*корень(2)+2*а)*а=2*(2+корень(2))*a^2
площадь поверхности =2* площадь основания + площадь боковой поверхности
2*(2+корень(2))*a^2+2*a^2=2*(корень(2)+3)* a^2
Ответ:а) а
б) 45°
в)2*(2+корень(2))*a^2
г) 2*(корень(2)+3)* a^2
*