Докажите что в произвольном многоугольника любая сторона не больше суммы остальных сторон.

Решение:

 Положим что многоугольник выпуклый, то есть можно провести диагонали, обозначим первую вершину \( A_{1} \), вторую \( A_{2} \), третью \( A_{3} \),\( A_{4};A_{5};A_{6}.A_{n} \) соответственно.  
 Проведем диагонали из вершины  \( A_{1} \)    к остальным вершинам соответственно, тогда из неравенство треугольников получим неравенства 
 \( A_{1}A_{2}<A_{1}A_{3}+A_{2}A_{3}\\A_{1}A_{3}<A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4}\\A_{1}A_{4}<A_{1}A_{5}+A_{4}A_{5}\\.\\A_{1}A_{n-1}<A_{1}A_{n}+A_{n-1}A_{n} \) 
 заметим что в каждом слагаемом есть тот член, который есть в  последующем но она меньше суммы двух других,  условливаясь что они равны то есть \( A_{1}A_{3}=A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4} \) (это означает что треугольник не вырожденный) и подставляя получим требуемое то есть 
\( A_{1}A_{2}<A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+.+A_{1}A_{n} \) 
 что уже говорит о случае  \( A_{1}A_{3}<A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4} \)