Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, вавна 10, а косинус одного из острых углов равен 3/5. Найдите радиус окружности вписанной в данный треугольник.

Решение:
Пусть в треугольнике АВС угол С - прямой,  АВ - гипотенуза, СМ - медиана к ней, CosА=3/5=0,6. В прямоугольном треугольнике медиана проведённая к гипотенузе равна её половине. АВ=2*СМ=2*10=20. Длина катета АС относится к длине гипотенузы АВ как прилежащего угла CosА=0,6. АС=АВ*СosA=20*0,6=12. Второй катет ВС найдём по теореме Пифагора: $$ BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16 $$. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности будет равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой r=(АС+ВС-АВ)/2=(12+16-20)/2=8/2=4. Ответ: радиус вписанной окружности равен 4.