Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, половине гипотинузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Решение:
1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30°м а угол С = 60. Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60°, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать. 2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30°м. докажем это. рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС. Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60°м. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30°,что и требовалось доказать.