В прямоугольном треугольнике АВС угол А=90 медиана АМ делит биссектрису СК в отношении 9/4 считая от вершины С. Найдите tg угла С

Решение:
Обозначим О - точка пересечения биссектрисы и медианы. Пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, СО = q, обозначим так же за Ф половину угла С. В силу того, что треугольник прямоугольный, медиана АМ равна половине основания, и треугольник СМА равнобедренный. Угол МАС = 2*Ф, поэтому угол МОС = 3*Ф, угол АМВ = 4*Ф.  Применим теорему синусов к треугольнику МОС (a/2)/sin(3*Ф) = q/sin(pi - 4*Ф); кроме того, а*cos(2*Ф) = p*cos(Ф); (равно катету, который сторона угла ВАС) Отсюда (просто делим одно на другое) 2*cos(2*Ф)*sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(4*Ф); поупрощаем немного sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(2*Ф); sin(Ф)*(3 - 4*(sin(Ф))^2) = (p/q)*2*(cos(Ф))^2*sin(Ф); 3 - 2*(1-cos(2*Ф)) = (p/q)*(1+cos(2*Ф)); cos(2*Ф) = (p/q - 1)/(2 - p/q); покольку угол ВСА и есть 2*Ф, то это ответ. В случае, если p/q = 13/9 (так задано в условии), cos(2*Ф) = 4/5; а, ну да, надо тангенс... 3/4 будет тангенс... треугольник подобен простейшему Пифагоровому (со сторонами 3,4,5) 
Если обозначить за d = q/(p - q); (то есть то самое отношение, которое по условию равно 9/4), то выражение для cos(2*Ф) можно привести к виду cos(2*Ф) = 1/(d - 1); что выглядит еще симпатичнее.