Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, AC =12 см, BD =15 см. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являютя середины сторон данного четырехугольника

Решение:
Четырехугольником, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника,  будет прямоугольник, у которого стороны в два раза меньше заявленных диагоналей. Поэтому S=6*7,5=45 см^2
fxd Ну, то, что это будет четырехугольником, нам сказано в условии. Почему он будет именно прямоугольником, я скажу позже, когда введу все обозначения.
Доказывать будет удобнее всего, пожалуй, именно подобием. Можно исхитриться через тригонометрию, но, думаю, не стоит идти сложным путем. Обозначим середину отрезка AB буквой M, середину BC буквой N, CD — O, AD — P. Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Докажем, что они подобны: 1)Угол B будет общим 2) AM=MB (т.к. точкой M мы поделили пополам) 3) BN=NC (точкой N мы поделили пополам) В подобных треугольниках все соответствующие стороны пропорциональны, поэтому мы можем утверждать, что AB:MB=AC:MN. А поскольку 2AM=AB, то и 2MN=AC. Аналогично доказываем каждую сторону.
То, что этот четырехугольник — прямоугольник доказывается очень просто. Поскольку AC параллельно MN, а BD перпендикулярно AC, мы можем утверждать, что BD также перпендикулярно MN. Доказав так каждую сторону, получаем, что все углы у четырехугольника будут по 90°.