Дан шестиугольник A1A2A3A4A5A6. Его стороны А1А2 и А4А5, А2А3 и А5А6, А3А4 и А6А1,
попарно равны и параллельны. Используя центральную симметрию, докажите, что диагонали А1А4 и А2А5, А3А6 данного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Решение:

Треугольники, образованные парными боковыми сторонами и парой из указанных диагоналей, равны.  Например, треугольник А1А2О = треугольник А4А5О, где О - точка пересечения А1А4 и А2А5 => обе эти диагонали в точке их пересечения делятся пополам. И эта пара сторон и пара диагоналей центрально симметрична относительно О. Аналогично и для другой пары сторон. Мы видим, что и они делятся точкой пересечения пополам, то есть эта точка совпадает с О. Поэтому у фигуры есть центр симметрии, и все диагонали, соединяющие центрально симметричные вершины (А1 и А4, А2 и А5, А4 и А6), обязательно проходят через центр симметрии и делятся им пополам.