В трапеции ABCD основание AD в 3 раза больше основания ВС. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точках М и N. Найдите отношение площади треугольника MON к площади трапеции.

Решение:
Проведем ВК II AC. Продлим АD до пересечения с ВК, К как раз обозначим точку пересечения. КВСА - параллелограм. КА = ВС., Обозначим ВС = х, тогда АD = 3*x, КD = 4*х. площадь треугольника КВD = площади трепеции. (Если обозначить высоту трапеции за Н, эти площади будут 2*х*Н); Далее, проводим среднюю линюю трапеции. Её длина равна 2*х. Обозначим P и Q точки пересечения средней линии с боковыми сторонами AB и СD. Ясно, что PM = NQ = х/2 (Это средние линии в треугольниках с основанием х). Поэтому MN = 2*х - 2*(х/2) = х. Треугольники MNO и KBD подобны, ну хотя бы потому что их стороны попарно параллельны (сторона МО  - вообще часть BD). При этом их стороны отностятся как MN/KD = 1/4; Поэтому отношение площадей этих треугольников равно (1/4)^2 = 1/16; (ну надеюсь, это объяснять не надо? а то всякое бывает) Это ответ, про KBD я уже показал, что его площадь равна площади тарпеции.