В равнобедренном треугольнике с основанием, равным 4 см, и высотой, равной 6 см, на боковой стороне, как на диаметре, построен полукруг. Точки его пересечения с основанием и другой боковой стороной соединены. Определите площадь получившегося четырехугольника.

Решение:
В условии не указано, какая задана высота. Считаем, что к основанию. Два утверждения сразу решают задачу. 1. такая окружность пересекает сторону треугольника (и боковую и основание, и вообще это справедливо всегда) в точке, являющейся основанием высоты треугольника, проведенной к этой стороне. Это ясно из того, что угол между стороной и линией соединения вершины с точкой пересечения опирается на диаметр окружности, то есть равен 180/2 = 90. Отсюда сразу следует, что такая окружность в равнобедренном треугольнике пересечет основание в середине. Поэтому мы знаем теперь, что одна боковая сторона ОТСЕЧЕННОГО треугольника равна половине основания, то есть 2 см. 2. Отсеченный треугольник ПОДОБЕН ИСХОДНОМУ. Это сразу следует из свойств секущих. Если обозначить a - основание, b - боковая сторона, m - часть основания от "внешней" вершины треугольника до окружности (см пункт 1), а n - часть боковой стороны от "внешней" вершины треугольника до окружности (то есть до основания высоты к боковой стороне, но это уже не слишком важно для решения), то a*m = b*n; Откуда следует n/a = m/b; Стороны пропорциональны, при ОБЩЕМ УГЛЕ. Ч.т.д. При этом, конечно, этот треугольник расположен не так, как исходный, и кусок боковой стороны большого треугольника будет основанием малого. Теперь достаточно найти "коэффициент подобия", то есть отношение подобных сторон, и все решится боковая сторона малого треугольника m = 2, а боковую сторону большого треугольника считаем по теореме Пифагора b = корень(m^2 + H^2); где Н = 6 см. b = 2*корень(10). Поэтому боковые стороны относятся,как 1/корень(10), а площади, соответственно, как 1/10.  Поэтому четырехугольник будет иметь площадь 1 - 1/10 = 9/10 от площади треугольника. Площадь треугольника = (1/2)*6*4 = 12, значит, ответ 10,8