В треугольнике АBC, AB = 4√2, ‹ A = 45°, ‹ C = 90° найти площадь треугольника

Решение:
из соотношения А+В+С=180° и формулы приведения для синуса sin B=sin (180-(A+C))=sin (A+C) из формулы синуса суммы и значений табличных углов sin B=sin (30+45)=sin30cos45+sin45cos30=1/2*корень(2)/2+корень(3)/2*корень(2)/2= =(корень(2)+корень(6))/4
из теоремы синусов имеем AB/sin C=AC/sin B AC=AB/sin C*sin B AC=4*корень(2)/(1/2) *(корень(2)+корень(6))/4=2*2*(1+корень(3))=4*(1+корень(3))
Площадь треугольника равна половине произведения его двух сторон на синус угла между ними S=1/2 AB*AC*sin A=1/2 *4*корень(2)*4*(1+корень(3))*корень(2)/2=8*(1+корень(3))

 А+В+С=180 теорема  синусов
sin B=sin (180-(A+C)=sin (A+C)
sin B=sin (30+45)=sin30cos45+sin45cos30=1/2 * 2^2/2 *2^2/2=
=2^2+2^2/4
из теоремы синусов имеем
AB/sin C=AC/sin B
AC=AB/sin C*sin B
AC=4*2^2/1/2+6^2/4=2*2*(1+3^2)=4*(1+3^2)
S треугольника равна половине произведения его двух сторон на синус угла между ними
S=1/2 AB*AC*sin A=1/2 *4*2^2*4*(1+3^2)*2^2/2=8*(1+3^2)

---

‹ A = 45°, ‹ C = 90°значит ‹ В = 180°- ‹ A - ‹ C = 180° - 90°- 45°= 45° два угла треугольника равны, значит он равнобедренный AС=BC
из теоремы Пифагора AC^2+BC^2=AB^2 2AC^2=AB^2 AC=AB/корень(2) АС=ВС=4*корень(2)/корень(2)=4
 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов S=AС*ВС/2 S=4*4/2=8