В окружности, радиус которой равен 15, проведена хорда АВ = 24. Точка С лежит на хорде АВ так, что АС : ВС = 1 :2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.

Решение:
Сразу ясно, что перпендикуляр к общей касательной, проведенный из точки касания, пройдет через ОБА центра ОБЕИХ окружностей. Положение точки С, как второй точки касания малой окружности, задает нам и расстояние от центра малой окружности до радиуса, перпендикулрного хорде (ну, который проходит через середину хорды). Все это сразу позволяет записать соотношение OO1^2 = CM^2 + M1O^2; где М середина хорды, О1 - центр малой окружности, М1 - основание перпендикуляра из О1 на ОМ (на продолжение ОМ, конечно). Ясно ,что ММ1 = r, где r  - радиус малой окружности (R обозначим радиус большой). Сначала вычислим СМ и ОМ. АС = 24/3 = 8, СМ = 24/2 - 8 = 4; ОМ^2 = R^2 - AM^2 = 15^2 - 12^2 = 81; OM = 9; Таким образом, мы имеем (15 - r)^2 = 4^2 + (r + 9)^2; Это даже не квадратное уравнение )

128 = (30 + 18)*r;
r = 8/3; 

Мне было справедливо замечено Andr1806, что окружность может быть вписана не в "малый", а в "большой" сегмент окружности радиуса 15 (хорда длины 24 делит окружность радиуса 15 на два сегмента). Для этого случая уравнение не сильно меняется, любой может это сам увидеть.

(15 - r)^2 = 4^2 + (r - 9)^2;

128 = (30 - 18)*r;
r = 32/3;  .