Точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD является его центром симметрии. Докажите, что ABCD параллелограмм

Решение:
центром симметрии служит точка пересечения диагоналей у  ромба, прямоугольника, квадрата и параллелограмма, так как в этих фигурах стороны попарно параллельны друг другу.

идеальный случай - квадрат, здесь все стороны и равны и попарно параллельны друг другу, то есть выполняется полная симметрия; квадрат - параллелограмм(оговорено выше)

Четырехугольник задан координатами своих вершин A(1;1) B(3;5) C(9;1) D(7;5) Докажите, что ABCD параллелограмм. Найдите его диагонали.

чтобы доказать, что, нужно чтобы АВ было параллельло и равно CD, и то же самое со сторонами AD и ВС.
АВ имеет координаты (3-1; 5-1)=(2;4); длина АВ=√2²+4²=√20
DC (9-7; 5-1)=(2;4); DC=√2²+4²=√20, следовательно они равны.

AD (7-1; 5-1)=(6;4); AD=√6²+4²=√40
BC (9-3; 1-5) = (6;-4); ВС=√6²+(-4)²=√40, следовательно они тоже равны.
из всего вышесказанного следует, что ABCD-параллелограмм.

Диагонали так же искать через координаты:
АС (8;0); АС=√64=8
ВD(4;0); ВD=√16=4