Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 12 см. Из вершины треугольника к его плоскости проведен перпендикуляр равный 6см. Найти расстояния от концов перпендикуляра до противоположной стороны

Решение:
х=N36+144 по теореме Пифагора .Если вы соедините концы перпендикуляра с вершинами получите два прямоугольных треугольника. В треугольнике АДС искомая сторона-это гипотенуза, равна сумме квадратов катетов 5 и 12, а в треугольнике АДВ - это катет, равный квадрату АВ=12-квадрат АД= 6 то есть корень квадратный из (144-36)

К плоскости треугольника со сторонами 8см, 15см, 17см из вершины его среднего угла проведен перпендикуляр длиной 6см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до противоположной стороны.

Задача имеет смысл только если перпендикуляр проведен К ПЛОСКОСТИ треугольника.
Треугольник со сторонами 8, 15, 17 прямоугольный, поскольку 8^2 + 15^2 = 17^2 (это Пифагорова тройка). Пусть прямой угол С.
"Средний" угол - это угол между катетом 8 и гипотенузой 17. Пусть это вершина А. Противоположная сторона - это ВС.
Конец перпендикуляра к плоскости АВС из точки А обозначим Е.
Если соединить Е и С, то ЕС будет перпендикулярно ВС. Это потому, что АС перпендикулярно ВС и АЕ перендикулярно ВС (АЕ перпендикулярно всем прямым в плоскости АВС), следовательно, ВС перпендикулярно ВСЕМ прямым в плоскости АСЕ, в том числе ЕС. Поэтому ЕС и есть искомое расстояние.  
Треугольник АЕС прямоугольный и имеет катеты АЕ = 6 и АС = 8, откуда ЕС = 10 (это "египетский" треугольник, то есть подобный треугольнику со сторонами 3, 4, 5. "Египетский" треугольник - это простейший из Пифагоровых треугольников, то есть прямоугольных треугольников, длины сторон которого - целые числа).

К плоскости треугольника со сторонами 5см, 12см, 13см из вершины его меньшего угла проведен перпендикуляр длиной 16см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до противоположной стороны

Данный треугольник - прямоугольный. Прямой угол образован катетами 5 и 12. Это можно подтвердить по теореме косинусов, а можно вспомнить, что стороны 5, 12, 13 - стороны прямоугольного треугольника из Пифагоровой тройки.
Обозначим вершины треугольника А, В, С.
С - прямой угол.
АВ - гипотенуза = 13 см
АС = 12см
ВС = 5 см
Угол А - меньший острый угол.
А - основание перпендикуляра
М - второй конец перпендикуляра.  
Расстояние от точки до прямой  измеряется отрезком, проведенным из точки к прямой и перпедникулярным ей.
Расстояние от основания А перпендикуляра до противоположной стороны - а именно меньшего катета ВС треугольника - равно большему его катету АС и равно 12 см
Расстояние от верхнего конца М перпендикуляра равно гипотенузе МС прямоугольного треугольника АМС, катетами которого являются АС исходного треугольника и перпендикуляр АМ.  
МС² = АС² + АМ² = 144 + 256 = 400
МС=√400=20 см