Точки M, N и K - середины ребер AD, BC и AB тетраэдра ABCD. На продолжении AN за точку N взята точка P так, что AP=2AN. Через точку P проведена прямая, параллельная плоскости DKC и пересекающая прямую CM в точке Q. Найдите отношение CQ:CM.

Решение:
Проведем  дополнительные построения. Продлим лучи AB, AC, AD. В плоскости (ВАС) через точку Р проведем прямую (К₁С₁) || (KC). В плоскости (САD) через точку С₁ проведем прямую (С₁D₁) || (CD). Плоскость (K₁C₁D₁) параллельна (KCD) и проходит через точку Р. Прямая (C₁D₁)-линия пересечения плоскостей (АС₁D₁) и (K₁C₁D₁). Прямая (MC) пересекает (C₁D₁) в точке Q. Точка Q принадлежит плоскостям  (АС₁D₁) и (K₁C₁D₁). Прямая (PQ) - искомая прямая, которая проходит через точку Р, Параллельная плоскости (DKC) и пересекающая прямую (СМ) в точке Q. Теперь отношение CQ:CM В ∆ACD  построим среднюю линию (MA₁) || (CD), тогда |АА₁| =|СА₁|. В ∆ABC построим прямую (SA₁) || (KC) || (K₁C₁). Указанные прямые по теореме Фалеса отсекают на сторонах углов ∠BAN и ∠NAC - пропорциональные отрезки. Точка Е – пересечение медиан, отрезки |NE|=1/3*AN, |AE|=2/3 * AN. Точка Z – пересечение (АЕ) и (SA₁), отрезки |EZ|=|AZ|=1/3*AN. Тогда PE:EZ=(PN+NE):EZ=(AN+1/3*AN):1/3*AN=4/3*AN:1/3*AN=4:1 ∆QCC₁ и ∆MCA₁ – подобные по трем углам. CQ:CM=CC₁:CA₁=PE:EZ=4:1
Ответ: отношение CQ:CM=4:1