Длина медианы CM треугольника ABC равна 5см. Окружность с диаметром CM


Главная Научный калькулятор
Меню Алгебра Геометрия Основные понятия Аксиомы планиметрии Углы Перпендикулярные и параллельные прямые Перпендикуляр и наклонная Круг (окружность) Треугольник Четырехугольник Параллелограмм Трапеция Многоугольники Основные понятия стереометрии Аксиомы стереометрии Прямые в пространстве Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Скрещивающиеся прямые Прямая и плоскость в пространстве Перпендикулярность прямой и плоскости Параллельность прямой и плоскости Угол между прямой и плоскостью Теорема о трех перпендикулярах Формула двойного проектирования Плоскости в пространстве Пересекающиеся плоскости Параллельность плоскостей Перпендикулярность плоскостей Площадь проекции плоской фигуры на плоскость Многогранники: Пирамида Призма Тела вращения: Цилиндр Конус Шар (Сфера) Объем тел вращения Задачи по геометрии Примеры решений Вспомогательные материалы: Таблицы Брадиса Исследование функций Асимптоты. Первая производная. Вторая производная. Тригонометрия Тригонометрические неравенства Преобразования графиков	Треугольник : Равнобедренный треугольник : Прямоугольный треугольник : Четырехугольник : Параллелограмм : Ромб : Прямоугольник : Трапеция : Многоугольники : Круг и окружность : Прямые и плоскости : Пирамида : Пространственная система координат : Цилиндр : Конус : Углы : Призма : Параллелепипед : Сфера и Шар Длина медианы CM треугольника ABC равна 5см. Окружность с диаметром CM пересекает стороны AC и AB в их серединах. Найдите периметр треугольника ABC, если его площадь равна 24см^2. Решение: Пусть Е - точка пересечения АС и окружности (то есть середина АС). Соединим М и Е. Угол МЕС опирается на диаметр СМ, поэтому треугольник СМЕ прямоугольный. Но ЕM II CB, поэтому весь треугольник АВС прямоугольный. И раз медиана СМ = 5, то гипотенуза АВ = 10; А площадь SABC = 24. Я сразу напишу ответ - катеты равны 6 и 8, а периметр 24. Можно, конечно, сосчитать все "как положено", но это не обязательно. Тут явно присутствует Пифагорова тройка (6,8,10). Примечание. "Как положено" лучше делать так a^2 + b^2 = 10^2; ab = 224; (a + b)^2 = 196; (a - b)^2 = 4; Назовем точки пересечения окружности со сторонами треугольника А1 и В1 ВВ1 = В1с и АА1 = А1С получившиеся треугольники СМА1 и СМВ1 - прямоугольные, т.к. опираются на диаметр окружности. тогда МВ1 будет и высотой и медианой для треугольника ВМС аналогично МА1 будет и высотой и медианой для треугольника АМС т.е. Эти треугольники равнобедренные и ВМ = МС = АМ = 5 тогда АВ = 10 и получилось, что в треугольнике АВС медиана МС = АВ/2 - а это свойство прямоугольного треугольника (((МВ = МС = МА = радиусу описанной окружности и АВ - диаметр этой описанной окружности, значит треугольник АВС - прямоугольный - опирается на диаметр) итак, АВС - прямоугольный и АВ - гипотенуза. AC^2 + BC^2 = AB^2 = 10^2 Дано: S(ABC) = 24 = ACBC/2 ACBC = 242 можно сложить эти два равенства ((как при решении системы) AC^2 + BC^2 + 2AСВС = 10^2 + 2242 (АС+BС)^2 = 100+96 AC+BC = V196 = 14 P(ABC) = AC+BC+AB = 14+10 = 24 В треугольнике ABC биссектриса CK пересекает медиану AM в точке Н, а биссектриса BL пересекает AM в точке R, при этом AH : HM = 3 : 2, AR : RM = 5 : 2. Найдите периметр треугольника ABC, если его площадь равна 150. АН/НМ = АС/СМ = 3/2 поэтому АС/СВ = 3/4; АР/РН = АВ/ВМ = 5/2 поэтому АВ/ВС = 5/4; то есть стороны треугольника относятся как 3:4:5. Это прямоугольный треугольник, который называется "египетский" - то есть подобный треугольнику со сторонами 3,4,5. Площадь треугольника со сторонами 3,4,5 равна 34/2 = 6; Площадь АВС в 150/6 = 25 раз больше, то есть стороны в 5 раз больше, то есть стороны АВС 15,20,25 (АВ = 25, АС = 15, ВС = 20) Ну, и периметр равен 60.