Касательная к окружности, вписанной в треугольник ABC пересекает стороны ВС и АС соответственно в точках А1 и В1. Найдите периметр треугольника А1В1С1 если ВС = 5, АС = 6 и АВ = 7

Решение:
По свойству отрезков касательных из одной точки сразу ясно, что периметр А1В1С (без 1) равен УДВОЕННОМУ отрезку от вершины С до точки касания АС с вписанной окружностью. Надо найти r - вписанной окружности и угол С (точнее, надо найти ctg(C/2)); По формуле Герона считаем площадь треугольника, она равна 6*√6; полупериметр 9; отсюда r = 2*√6/3; по теореме косинусов 7^2 = 5^2 + 6^2 - 2*5*6*cos(C); откуда cos(C) = 1/5; ctg(C/2) = √6/2; Поэтому искомая величина равна 2*r*ctg(C/2) = 2*(6*√6)*(√6/2) = 4

В треугольник АВС со сторонами АВ=5, ВС=6, АС=7 вписана окружность. Касательная к окружности, параллельная стороне АС, отсекает от данного маленький треугольник. Найдите его периметр и площадь.

1) Находим радиус вписанной окружности, а для этого по формуле Герона находим площадь: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
р = (6+7+5)/2 = 9
S = √(9(9-6)(9-7)(9-5)) =  √216  = 14.69693846
r = S / p =  14.69693846 / 9 =  1.63299316.
Так как треугольники подобны, то площади пропорциональны квадрату коэффициента пропорциональности.
Найдем высоту треугольника АВС:
Hb= 2S / b = 2*14.69693846 / 7 =  4.1991253.
Высота треугольника ВКМ меньше на 2 радиуса:
hb = Hb - 2r = 4.1991253 - 2*1.63299316 =  0.93313895
Коэффициент пропорциональности к = hb / Hb =  0.9331389 / 4.1991253 =  0.22222222,
к² =  0.04938272. 
Тогда S(BKM) = 14.69693846* 0.04938272 =  0.725774739 кв.ед.
А периметр равен Р(АВС)*к = (6+7+5)*0.22222222 =
= 18*0.22222222 = 4.