Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины
Решение:Если взять треугольник АВС и провести высоту ВН и медиану ВМ, то получается прямоугольный треугольник ВНМ, где ВМ-гипотенуза, которая всегда больше катетов...
Медиана треугольника может быть равна или больше высоты, но никогда - меньше. Равной она бывает в равнобедренном или равностороннем треугольнике.
Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
В данном случае этой точкой является вершина, из которой проведены медиана и высота.
Если медиана проведена не в равнобедренном треугольнике, она наклонна к стороне, к которой проведена. Высота перпендикулярна к основанию, а медиана наклонна. С высотой она составляет прямоугольный треугольник и является в нем гипотенузой, а гипотенуза всегда больше катета.
Высота - это, по сути, перпендикуляр, опущенный из точки на сторону треугольника. А, как известно, кратчайшее расстояние от точки до прямой это перпендикуляр на нее опущенный. Значит, любой отрезок, проведенный из этой точки (это относится и к медиане) будет больше, чем высота. Ну а в случае, когда медиана и высота попадают в одну и ту же точку, то они просто совпадают. Таким образом мы доказали, что медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины
Медиана треугольника может быть равна или больше высоты, но никогда меньше.
Равной она бывает в равнобедренном или равностороннем треугольнике.
Перпендикуляр, приведеный из какой нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.
В данном случае этой точкой является вершина, из которой приведены медиана и высота.
Если медиана проведена в равнобедренном треугольнике, она наклонна к стороне, к которой проведена. Высота перпендикулярна к основанию, а медиана - наклонна. С высотой она составляет прямоугольный треугольник и является в нем гипотенузой а гипотенуза всегда больше катета.