В правильном треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Точки K, M и N – середины отрезков АО, ВО и СО соответственно. Найти периметр шестиугольника A1MC1KB1N, если АВ = a.

Решение:

Медиана равностороннего треугольника
АА₁=ВВ₁=СС₁=а√3/2
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
АО=ВО=СО=2/3*а√3/2=а√3/3
ОА₁=ОВ₁=ОС₁=1/3*а√3/2=а√3/6
АК=КО=ВМ=МО=СN=NО=АО/2=а√3/6
т.к. Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины, то получается, что медианы делят ΔАВС на 6 одинаковых прямоугольных треугольников:
ΔАОС₁=ΔВОС₁=ΔВОА₁=ΔСОА₁=ΔСОВ₁=ΔАОВ₁
 Рассмотрим ΔАОС₁ - в нем медиана С₁К опущена из прямого угла на гипотенузу, значит С₁К=АО/2=АК=КО=а√3/6
Периметр А₁МС₁КВ₁N:
Р=А₁М+МС₁+С₁К+КВ₁+В₁N=6С₁К=6*а√3/6=а√3