Два круга заданы координатами центров в прямоугольной декартовой системе координат и радиусами. Найти площадь их пересечения.
нам даны x1, y1, r1, x2, y2, r2
например :20 30 15 40 30 30
ответ 608.37

Решение:

 Опишем круги, в виде уравнения 
\( (x-20)^2+(y-30)^2=15^2\\ (x-40)^2+(y-30))^2=30^2 \)    
Найдем точки пересечения, решив  данные уравнения     
\( (x-20)^2-(x-40)^2=15^2-30^2 \\ 40x-1200 = - 675 \\ x= \frac{108}{5} \) 
\( y = 30 +- \frac{5\sqrt{455}}{8} \) 
Из графиков, видно что  нужно найти, часть круга, отсекаемой большей окружности  меньшую 
Выразим \( x \)  с первого и со второго уравнения 
\( x=- \sqrt{-y^2+60*y-675}+20 \\ x=-\sqrt{-y*(y-60)}+40 \) 
Теперь заменим \( x=y \), для того чтобы рассмотреть на координате, вдоль  оси \( OX \)
 Нам нужно часть отсекаемое большей окружности меньшую,  
 Проинтегрировав      
 \( \int\limits^{30-\frac{5\sqrt{455}}{8}}_{30-\frac{5\sqrt{455}}{8}} - \sqrt{-x^2+60*x-675}+20-(-\sqrt{-y(y-60)+40}) \, dx \) 
  Взяв интеграл, можно посчитать что он равен \( 97.7714 \)       ( по таблицам  все интегрируются)   
 Осталось найти площадь  \( 15^2*\pi-97.7714 = 608.3 \)      
 Но данные задачи решаются  методом Монте-Карло