Внешний угол правильного многоугольника равен 1/5 внутреннего. Найдите количество сторон этого многоугольника

Решение:

Сумма внешних углов  = 360 градусов, так как это правильный многоугольник то справедлива формула : nx = 360 градусов (n - число сторон, х - внешний угол)

х = 1/5у , у = 5х вернемся к ней позже (у - внутренний угол)

сумма внутренних углов прав.многоугольника = (n-2)180

угол "у" = (n-2)180 / n = у

подставляем вместо у = 5х

(n-2)180 / n = 5х

вместо х = 360/n

(n-2)180 / n = 5*360/n

(n-2)180  = 5*360

180n-360 = 1800

180n = 2160

n = 2160/180

n = 12

12 сторон

Внешний угол многоугольника и внутренний - смежные

х - внешний

5х - внутренний

х+5х=180

6х=180

х=30 (град) - внешний

30*5=150 (град) - внутренний

180(n-2)/n=150

6n-12=5n

n=12

Длина окружности, вписанной в правильный многоугольник, равна 12π см, а длина его стороны - 4√3см. Найдите количество сторон многоугольника.

Формулы:

\( a = 2*r*tg\frac{\pi}{n} - \) сторона правильного многоугольника

r - радиус вписанной окружности

n - количество сторон многоугольника

\( C = 2\pi*r \)  - длина произвольной окружности

r - радиус окружности

Из второй формулы выразим радиус и подставим в первую.

\( a = 2*\frac{C}{2\pi}*tg\frac{\pi}{n} \) 

подставим известные значения в полученное выражение:

\( 4\sqrt{3} = \frac{12\pi}{\pi}*tg\frac{\pi}{n} \) 

\( tg\frac{\pi}{n} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) 

\( \frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6} \) 

n=6 

Вот интересно.  

L = 2*pi*R = 12*pi;

поэтому 

R = 6;

Дальше, угол между радиусом, проведенным в точку касания, и радиусом, проведенным в вершину многоугольника, имеет величину Ф

tgФ = 2*корень(3)/6 = корень(3)/3. 

Ф = 30 градусов.  

Соответственно, центральный угол между радиусами, идущими в соседние вершины, равен 60 градусам.  

Поэтому это 6-угольник.

Найдите количество сторон правильного многоугольника, у которого внутренний угол в 3 раза больше центрального.

Центральный угол
360/n
Внутренний угол
(n-2)*180/n
Составляем уравнение
(n-2)*180/n = 3*360/n
Решаем
180n - 360 = 1080
180n = 1440
n = 8
Ответ: восьмиугольник

Центральный угол=Внутреннкму углу
360/n-центральный угол
(n-2)*180/n-внутренний угол
Составим уравнение:
(n-2)*180/n=3*360/n
Подставив все значения, получим:
180n-360=1080
180n=1440
n=8 углов
Ответ: восьмиугольник

Найдите количество сторон правильного многоугольника, внешний угол которого равен 60

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Значит углы при вершине этого многоугольника равны 120⁰, таким многоугольником является правильный шестиугольник.

Найдите количество сторон правильного многоугольника, каждый из внутренних углов которого равен 150 градусов

Число углов многоугольника =n

Сумма углов многоугольника равна 180(n-2)

Сторон в многоугольнике равно числу углов=n

Величина каждого угла правильного многоугольника равна 180(n-2):n

150°=180(n-2):n

150°=(180 n-360°):n

150n°=180n°-360°

30n°=360°

n=12

Ответ: Сторон в многоугольнике 12

Внешние углы двух правильных многоугольников отличаются на 30 градусов, а суммы внутренних углов этих многоугольников отличаются на 360 градусов. Найдите количество сторон каждого многоугольника

К1 - количество сторон (углов) в многоугольнике 1, К2 - количество сторон (углов) в многоугольнике 2, сумма внешних углов в любом многоугольнике=360, 360/К1-360/К2=30 или 12/К1-12/К2=1 или 12К2 - 12К1=К1*К2, сумма углов в многоугольнике=180*(К-2), сумма углов в многоугольнике 1 = 180*(К1-2), сумма углов в многоугольнике 2 = 180*(К2-2), сумма углов в многоугольнике 2 - сумма углов в многоугольнике 1 = 360, 180*(К2-2) - 180*(К1-2)=360 или К2-2-К1+2=2, К2-К1=2, К2=2+К1, подставляем в первую формулу 12*(2+К1) - 12К1=К1*(2+К1), 24+12К1-12К1=2К1+К1 в квадрате, К1 в квадрате+2К1-24=0, К1=(-2+-корень(4+4*24))/2=(-2+-10)/2, К1=4 -количество сторон в многоугольнике 1, К2=2+К1=2+4=6 - количество сторон в многоугольнике 2

Сумма внутренних углов многоугольников равна: a) 1080, б)1440, в)1800, г)2880. Оприделите количество сторон в данной фигуре

Сумму углов многоугольника определяют по формуле 180(n-2),
 где n - число сторон многоугольника.  
Приведу решение для варианта А в качестве примера.
1080°=180°(n-2)  Разделив на 10° обе части ( можно и не делить) получим: 
1080°=180°*n-360° 
1440=180n
n=8 ( сторон)
Но есть другой способ, при котором можно обойтись без данной формулы.
Известно, что сумма ВСЕХ внешних углов многоугольника равна 360 градусов, сколько бы их ни было.  
Сумма внешних и внутренних углов кратна 180° ( один внутренний + один внешний составляют развернутый угол). 
1080°+360°=1440 
n=1440:180=8. 
С остальными фигурами аналогично.

Найдите количество сторон правильного многоугольника, если сумма пяти его углов на 270° больше суммы остальных углов.

Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна 180°(n-2).
Тогда имеем уравнение: {[180°(n-2)]:n}*5 - {[180°(n-2)]:n}*(n-5) = 270.
Это уравнение приводится к квадратному:
2n²-21n+40=0, откуда n1=8, n2=2,5 (не удовлетворяет условию).
Итак, ответ: число сторон искомого правильного многоугольника равно 8.
Проверка: Один угол восьмиугольника равен 180*6/8 = 135°. Тогда сумма пяти углов равна 135*5=675°, а сумма трех оставшихся углов равна 135*3=405°. Разница равна 675°-405°=270°

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 4 корень из трёх, а радиус окружности описанной около него, 8 см. Найдите количество сторон многоугольника и длину его стороны

Вспомним формулы для правильного n-угольника: \( a_{n}=2Rsin \frac{180}{n}, r=Rcos \frac{180}{n} \), используем вторую формулу, подставляем радиусы, получаем, что косинус какого-то угла равен \( cos \frac{180}{n}= \frac{4\sqrt{3}}{8}= \frac{ \sqrt{3} }{2} \), угол равен 30 градусов, следовательно, n=6, у правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности, a=8 см.

В выпуклом многоугольнике есть 5 углов с градусной мерой 140 градусов каждый, остальные углы - острые. Найдите количество сторон этого многоугольника.

Пусть n- кол-во сторон.
тогда сумма всех углов= 180(n-2)
но с другой стороны сумма углов =5*140+М (где М- сумма оставшихся углов. )
180(n-2)=5*140+M
M=180n-1060
но помним, что эти М составляют оставшиеся n-5  углов, но и каждый угол острый, т.е. Меньше 90
(180-1060)/(n-5)<90
Решая неравенство получаем
n<61/9 
но помним, что n>5  и есть целое,  получаем
n=6

Диаметр окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 10 см, а сторона многоугольника - 10√3 см. Найдите количество сторон данного многоугольника и радиус описанной окружности.

Дано: d впис= 10 см, a(сторона многоугольника) = 10√3
Найти: n(кол-во сторон), R опис
Решение: r(радиус впис окр)=0.5d=5см
Выразим радиус описанной окружности через сторону и через радиус вписанной окружности, а затем приравняем
\( R= \frac{r}{cos \frac{180}{n}} \)
\( R= \frac{a}{2sin \frac{180}{n} } \)
\( \frac{10 \sqrt{3} }{2sin \frac{180}{n} } = \frac{5}{cos \frac{180}{n} } \)
\( 10 \sqrt3*cos \frac{180}{n} = 10sin \frac{180}{n} \)
Сокращаем на 10 и получаем
\( \frac{sin \frac{180}{n} }{cos \frac{180}{n} } = \sqrt{3} = tg \frac{180}{n} \)
Тангенс, равный √3 имеет угол в 60°, а значит, \( \frac{180}{n} =60 \), откуда n=3
Так как многоугольник- треугольник, то радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной. Значит, R=2r=10см
Ответ: 3 стороны, 10 см.