Сумма обеих координат точки M(x,y) лежащей на плоскости, равна 6. На каком минимальном расстоянии может находиться от начала координат такая точка?

Решение:

Это задача на наименьшее (наибольшее) значение функции. Принцип решения: а) ввести х
б) остальные неизвестные величины выразить через х
в) составить формулу функции, минимальное (максимальное) значение которой  в задаче имеется.
г) исследовaть её на min (max)

Пусть разговор идёт про точку М. Её координаты будут х  и  (6 - х)
Расстoяние от начала координат =|ОМ|. Именно ОМ должно быть минимальным. ОМ является функцией от х. Надо ОМ найти. Будем искать по т. Пифагора.
 ОМ² = х² + (6 - х)² ⇒ ОМ = √(х² + 36 -12х +х²) = √(2х² -12х + 36)
Значит, у = √(2х² -12х + 36)
Проведём исследование этой функции на min
Производная = 1/2√(2х² -12х + 36)  · ( 4х - 12)
Приравниваем её к нулю. Ищем критические точки
 1/2√(2х² -12х + 36)  · ( 4х - 12) = 0⇒ 4х - 12 = 0⇒ 4х = 12⇒х = 3
(2х² -12х + 36≠0)
-∞         -        3        +         +∞  
Смотрим знаки производной слева от 3 и справа
Производная меняет свой знак с " - "  на " + " ⇒ х = 3 - это точка минимума.
Ответ: точка М имеет координаты (3;3), ОМ = √(9 + 9) = √18 = 3√2