В треугольнике две медианы, равные 9 и 12 см, пересекатся под прямым углом. Вычислите стороны треугольника.

Решение:
Пусть дан треугольник ABC и медианы AK и СМ, AK перпендикулярна CM, т. О – точка пересечения медиан Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины Пусть x- коэффициент пропорциональности, тогда            2x+x=12 => 3x=12 =>x=4 => AO=8,OK=4            2x+x=9 => 3x=9 => x=3 => СO=6,OM=3 Из прямоугольного треугольника AOC:                (AC)^2=(AO)^2+(CO)^2=8^2+6^2=64+36=100                 AC=10 Из прямоугольного треугольника AOM:                  (AM)^2=(AO)^2+(OM)^2=8^2+3^2=64+9=73                   AM=sqrt(73)                   AM=MB                   AB=2sqrt(73)
Из прямоугольного треугольника COK                   (CK)^2=  (CO)^2+(OK)^2=6^2+4^2=36+16=52                     CK=sqrt(52)                     CK=KB                      CB=2sqrt(52)=4sqrt(13)      То есть стороны равны:                                     AC=10                                     AB=2sqrt(73)                                     CB=4sqrt(13)