Составить уравнение прямой проходящей через точки В(-1;3) и С (2;-3) и вычислить длину отрезка ВС, составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и параллельной отрезку ВС.

Решение:

Прямая иеет общий вид у=кх+в Подставим в это равенство координаты каждой из точек 3= -1к+в -3=2к+в Вычтем уравнения 6=-3к к=-2 Найдём в 3=-1*(-2)+в в=5 Тогда уравнение прямой будет у=-2х+5 Угловой коэффициент -2 А т.к. Прямые параллельны то их угловые коэффициенты равны. Тогда уравнение прямой, проходящей через начало координат будет у= -2х

Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку D(3;-2)

Уравнение прямой проходящей через две точки:

(х - х₀)/(х₁ - х₀) = (у - у₀)/(у₁ - у₀)

(х₀, у₀) = (0, 0)

(х₁, у₁) = (3,2)

х/3 = у/(-2)

2х = -3у

2х + 3у = 0 - уравнение прямоу проходящей через точку D(3,2).

Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид  Y = A * X

В данном случае уравнение прямой, проходящей через точку D (3; -2), имеет вид

Y = -2/3 * X

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М( 8;5) и пересекающую ось х в точке, отстоящей от начала координат на 4 еденицы

Точек на оси X, отстоящих от оси координат на 4 единицы две: A(-4,0) и B(4,0). Соответственно, возможны два случая. Для каждого случая составим систему уравнений. Пусть y=kx+m - уравнение нужной прямой. Тогда имеем систему: 0=-4k+m, 5=8k+m. Вычитая из второй системы первую, получаем 5=12k, k=5/12. Тогда m=5/4. Во втором случае получаем 0=4k+m, 5=8k+m. Тогда k=5/4, m=-5. Таким образом, имеем два уравнения прямых: y=5/12*x+5/4, y=5/4*x-5.

В декартовой системе координат даны прямые p и q, определяемые уравнениями соответственно 3y+4x-12=0 и 2y-3x-5=0
Найдите:
а) площадь треугольника, образованного прямыми p и q и осью абсцисс
б) уравнение прямой q’ - образа прямой q при осевой симметрии относительно прямой p

а) 1. Находим координаты вершин треугольника.

- А(х; у) - точка пересечения прямых р и q. Объединяем уравнения этих прямых в ситему и решаем. А(\( \frac{9}{17}; 3 \frac{5}{17} \))

- B(х; у) - точка пересечения прямой р с осью Ох. У=0

4х-12=0

х=3

В(3;0)

- С(х; у) - точка пересечения прямой q с осью Ох. У=0

-3х-5=0

х=-5/3

С(-5/3;0)

2. Проводим высоту АН. Н(9/17;0)

3. Находим длину стороны ВС и высоты АН по формуле расстояния между точками.

d²=(х₂-х₁)²+(у₂-у₁)²

ВС²=(-(5/3)-3)² = (14/3)²

ВС=14/3

АН²=(9/17 - 9/17)² + (0 - 56/17)² = (56/17)²

АН=56/17

4. Находим площадь треугольника по формуле S=½ah

S=1/2 · 14/3 · 56/17 = \( 7 \frac{35}{51} \) (кв. Ед. )

Ответ. \( 7 \frac{35}{51} \) (кв. Ед. )

Решаем пункт б), вызывающий главные затруднения.

Итак прямая p:  3y+4x-12=0   - ось симметрии

Для нахождения образа прямой q возьмем две точки. Одна останется неизменной, а именно точка пересечения прямых p и q: (9/17; 56/17).

Другая: точка пересечения q с осью У: (0; 2,5). Найдем ее образ, воспользуясь формулами преобразования:

x" = x - [2A(Ax+By+C) / (A^2 + B^2)] 

y" = y - [2B(Ax+By+C) / (A^2 + B^2)], где А = 4, В = 3, С = -12

x" = 0 - [8(0+7,5-12)/25] = 36/25

y" = 2,5 - [6(0+7,5-12)/25] = 5/2  +  27/25 = 179/50.

Итак образ q" проходит через две точки: (9/17; 56/17) и (36/25; 179/50)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(у1-у2)х + (х2-х1)у + (х1у2-х2у1) = 0

Подставляем полученные координаты:

(56/17 - 179/50)х + (36/25 - 9/17)у + (9/17 *179/50  -  36/25 *56/17) = 0 

-27х + 86у - 269 = 0

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A(-1;-2) и B(2;10) Найдите координаты точки пересеченияданной прямой с осью координат

Для этого чертим график через эти точки.

Заметно, что точка пересечения с осью координат (0;2)

Значит, уравнение будет y=.+2

Теперь отнимаем 2 от следующего целого y (1;6), будет 4

Значит y=4x+2

ответ: y=4x+2; координаты точки пересеченияданной прямой с осью координат (0;2)

Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (2; 3)

Общее уравнение прямой у = кх+b
 Но по условию - прямая проходит через начало координат.
подставим вместо х=0 вместо у=0
получим b=0
значит уравнение примет вид у=кх
Но дана вторая точка.
Подставим в это уравнение вместо х=2, у=3
3=к·2
к=3/2
ответ у=3х/2 

Уравнение прямой будет выглядеть так: у=1,5х
подставим в общее уравнение прямой у=ax+b, значения х и у (2;3)
получим 3=2а + 0, т.к. прямая проходит через начало координат.
итак, а = 1,5
а теперь запишем уравнение прямой: у=1,5х

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (1, 3, 3) и образующей с осями координат углы a=45 градусов, b=60 градусов, y=120 градусов

Сначала запишем нормальное уравнение прямой:
\( x\cos\alpha + y\cos\beta+z\cos\gamma + p = 0 \)
подставим сюда известные углы (тут неоднозначность условия, т.к. Не сказано с какими осями углы даны, ну рассмотрим один вариант):
\( x\cos\frac\pi4 + y\cos\frac{2\pi}{3}+z\gamma + p = 0\\ x\frac{\sqrt2}2 - \frac y2+z\gamma + p = 0 \)
теперь подставим точку вместо (x,y,z):
\( 1\cdot\frac{\sqrt2}2 + \frac 32+3\gamma + p = 0 \)
полагаем p = 1, получим 
\( \gamma = -\frac{\sqrt2+5}{6} \)
и уравнение прямой:
\( x\frac{\sqrt2}2 - \frac y2-z\frac{\sqrt2+5}{6} + 1 = 0\\ 3x\sqrt2 - 3y-z(5+\sqrt2) + 6 = 0 \)